处理复杂数据的模糊统计理论、方法与应用
摘要
随着信息技术的发展和计算机的使用而不断出现复杂数据，推动数理统计学按辩证逻辑框架应用模糊数学则向模糊统计发展。模糊统计理论为模糊总体变量的统计思维过程及其规律、方法和形式的理论基础；模糊统计方法是模糊总体状态、关系和过程的描述、判决和推断的方法系统；模糊统计应用则是处理复杂数据的辩证思维艺术结合模糊运算技巧的应用技术。
一、模糊统计的学科建设
模糊统计是概率统计的发展并非新建的统计学，数理统计学适应处理复杂数据的需要按辩证逻辑框架应用模糊数学，建成模糊统计理论、方法与应用的学科体系。
（一）构建模糊统计的外部条件
1、复杂数据不断出现
随着信息技术的发展和计算机的使用而不断出现复杂数据，是数理统计向模糊统计发展的客观需要。（1）复杂数据反映性质不确定的模糊总体特征，而数理统计只能研究随机总体性质确定结果可能的概率特征，概率统计理论需要上升为模糊统计理论；（2）模糊总体具有可能性分布和似然性规律，数理统计的概率模型和推断方法已不适用，概率统计方法需要发展到模糊统计方法；（3）模糊变量表现为高维、相依、非线性和不完全的复杂数据，数理统计则只在研究低维、独立、线性和完全的随机变量时有效，统计方法的应用需要由随机变量的研究向处理复杂数据拓广。
2、计算机的广泛使用
计算机及英特网以其强大的功能广泛使用，为统计学向模糊统计发展创造条件。（1）计算机的逻辑功能替代人脑一部分思维活动，用在处理复杂数据中逻辑推理与数学运算相结合研究模糊统计，促进统计理论的数理与逻辑结合研究；（2）计算机的计算功能使复杂数据的运算变得快速简便，既用于实际中发明多种模糊统计方法供理论研究论证，又用以对理论上发现的模糊统计方法多次实用检验，从而理论联系实际研究统计方法；（3）计算机互联网存储的复杂数据既含模糊性又有随机性，用作概率统计上升到模糊统计的依据，使统计应用研究不脱离实际。
3、信息技术迅速发展
信息技术伴随计算机迅速发展使人类进入信息社会，为模糊统计的研究和应用改善环境。（1）计算机网络上多媒体形式的信息转化为现成的复杂数据供模糊统计处理，一改过去单靠观察、实验和调查直接获取资料，收集原始资料的统计设计将以数据挖掘为主；（2）互联网的计算机处理初始信息的能力显著增强，与统计解析相结合处理复杂数据，可提高对模糊总体的认识能力；（3）复杂数据处理结果的信息通过计算机网络传输到控制对象，使以往难于控制者变得能有效地模糊控制，从而在实践管理中更好地发挥统计的作用。
（二）构建模糊统计的内在根据
1、统计学上升演变的必然
统计学从初级的《统计学》经中级的《社会经济统计学》到高级的《数理统计学》上升演变，必然由概率统计发展为模糊统计。（1）统计学从不同数学到应用初等数学又应用概率论，逻辑基础从演绎推理到归纳推理再辩证推理，必然在辩证逻辑基础上进一步应用模糊数学而上升到模糊统计；（2）统计学研究总体的特征从属性到总量再到变量，必然由结果不确定的随机变量加深为性质不确定的模糊变量；（3）统计方法的应用从一门社会科学到多门社会经济科学再到自然和社会的各个领域，必然在各领域里由研究随机总体扩展到模糊总体的研究。
2、统计学解决关系的必要
统计学有必要解决与外部学科之间的关系问题，以便顺利发展到模糊统计。（1）统计学与数学的关系：统计学应用概率论并不因此变成一门数学，而是独立于数学之外的统计方法科学，独立的统计学进而应用模糊数学才不走向消亡；（2）统计学与实质性科学的关系：统计学应用于各个科学领域也不因此成为多门实质性科学，而是仍然统一的统计方法科学，统一的统计学用以研究多学科的模糊总体却不会分裂；（3）统计学与逻辑学的关系：统计学一产生就应用逻辑学但至今隐而不露，只要将模糊统计运算中的辩证逻辑推理显现出来，就是统一独立的统计方法科学。
3、统计学未来发展的趋势
数理统计学与社会经济统计学何去何从及如何统一，未来发展的趋势是形成一门模糊统计。（1）数理统计学既不是数学也不是实质性科学，而是介于二者之间一门统一独立的统计方法科学，适应处理复杂数据的需要则向模糊统计发展；（2）社会经济统计学是中级统计与综合核算相结合，中级统计已合入数理统计而向应用模糊统计的社会经济统计学发展，综合核算适应可持续发展的需要则向大系统核算的综计学（综合核算科学的简称）发展；（3）理学学科的数理统计学与社会科学的核算科学分道扬镶，模糊统计与综合核算两门一级学科各自独立发展。
（三）构建模糊统计的有效途径
1、统计理论怎样更新
统计理论更新就是变革概率数学体系建立辩证逻辑框架并应用模糊数学，形成模糊辩证的理论统计学。（1）以应用数学的分支《统计数学》把数理统计从数学中隔离出来成为独立的统计方法科学；（2）建立总体变量的统计思维过程及其规律、方法和形式的辩证逻辑框架；（3）将概率的概念由结果的可能性扩展到性质的可能性，概率空间以特征函数推广到隶属函数而扩张为模糊概率空间，则概率统计理论上升到模糊统计理论。
2、统计应用如何发展
统计应用发展就是变革统计应用科学将辩证思维艺术结合模糊运算技巧，发展统计应用技术的应用统计学及其分支。（1）将应用统计学的分支《××统计学》如生物统计学与统计实质性科学《统计××学》如统计遗传学分离；（2）建立求同存异而同异结合的辩证思维艺术与计算均值和方差等模糊运算技巧相结合的应用统计学；（3）根据模糊总体的不同特点选择统计方法运用统计技术，发展应用统计学的统计设计、管理统计和统计分析各分支。
3、理论与应用结合研究
统计理论与统计应用相结合研究统计方法，是理论联系实际构建模糊统计的有效途径。（1）以辩证逻辑的概念、判断和推理等形式表现模糊运算的统计方法，用于研究模糊总体的状态、关系和过程，构成模糊统计方法系统的普通统计学；（2）构建模糊统计的理论基础、方法系统与应用技术的模糊统计学科体系；（3）统计学科建设以研究统计方法为重心，既联系理论基础与应用技术研究模糊统计方法，又从统计理论研究与统计应用研究两个来源扩充模糊统计方法，真正把统计学作为方法科学来研究。
二、模糊统计的理论基础
模糊统计以模糊总体变量的统计思维过程及其规律、方法和形式为研究对象，研究模糊统计对象的数理辩证基础就是理论统计学。
（一）模糊总体变量
1、模糊总体
个体性质一定程度属于总体就是性质不确定的模糊总体。（1）模糊总体性质的属于与不属于对立统一，具有性质可能的似然性特征；（2 ）模糊总体以其隶属函数确定个体的隶属度在区间〔0，1〕中取值，不属于取0而全属于取1，反映个体性质属于总体的程度；（3 ）模糊总体的隶属函数只取0和1两个值便蜕化为随机总体，具有性质确定结果可能的或然性特征，概率统计上升到模糊统仍可研究随机总体。
2、模糊变量
模糊变量是取值有相应隶属度的变量。（1）性质量化的数值或以量定性的数值按隶属函数确定的隶属度属于变量，以变量取值的不确定性表现总体性质的可能性，便于对模糊总体的辩证思维以模糊运算实证；（2）模糊变量的取值并非确定的点值而是实数上的模糊集，反映总体非分明的模糊性特征，更符合客观现实和人们的主观思维规律；（3）模糊变量的特例随机变量以确定的多个取值反映随机总体性质确定的可能结果，模糊统计运算扩大了概率统计运算仍用于随机变量。
3、模糊概率空间
模糊概率空间是模糊总体变量的理论基础。（1）设模糊样本空间为Rn，模糊事件的集合用F表示，P是隶属函数的均值，称三元总体（Rn，F，P）为模糊概率空间；（2）模糊概率空间是概率空间的扩张，随机总体变量则是模糊总体变量的特例，概率统计理论上升为模糊统计理论仍是随机总体变量的理论基础；（3）模糊概率空间表现的抽象模糊总体变量是模糊统计思维的对象，赋予具体性质和数值的模糊总体变量则是统计实质性科学的研究对象，模糊统计的理论科学以模糊总体变量的统计思维过程为直接对象，而实质性模糊总体变量是其间接对象。
（二）模糊统计思维
1、模糊统计思维的特点
模糊统计思维具有区别于精确科学思维又高于以往统计思维的特点。（1）总体性：区别于研究个体必然性特征的精确科学思维，是联系个体研究总体可能性特征的统计思维；（2）实证性：区别于纯性质理论科学的抽象思维，是以数学运算辅助逻辑推理的实证思维；（3）辩证性：高于初、中级统计取同舍异“非此即彼”的二值逻辑思维，是多值逻辑“似此非彼”的辩证思维；（4）模糊性：高于结果可能性随机变量运算实证的概率统计思维，是性质可能性模糊变量运算实证的模糊统计思维。
2、模糊统计的异中求同
模糊统计“具体──抽象──具体”的思维过程，第一阶段“具体──抽象”是异中求同的实证思维。（1）总体中个体性质属于和结果发生的可能性程度具有变异性，以隶属函数和分布函数反映个体质与量的具体性；（2）在异中求同的统计思维阶段，逻辑思维是从个体具体的变异中求取总体抽象的同一性，统计运算则是对模糊变量计算趋同特征的均值，实证思维从具体上升到抽象；（3）模糊统计对性质连同结果异中求同的实证思维，其特例是对同质总体可能结果异中求同的概率统计思维，二者求同进而存异是初、中级统计对质与量取同即己舍异的发展。
3、模糊统计的同中存异
模糊统计思维过程第二阶段“抽象─具体”是同中存异的实证思维。（1）变异个体的取值相对于总体同一的均值有离差，不因离差之和为0_便舍弃其变异，而是将之保存于总体同一中；（2）在同中存异的统计思维阶段，逻辑思维是从个体变异相对于总体同一的差异中抽取总体的变异，统计运算则是对离差变量计算离异特征的方差并与均值相结合，实证思维从抽象上升到具体；（3）模糊统计对性质和结果同中存异包含对结果同中存异的概率统计，使初、中级统计取同舍异的形式逻辑思维上升到高级阶段。
（三）规律·方法·形式
1、模糊统计规律
模糊统计规律是模糊总体变量的似然规律。（1）模糊统计规律有主观与客观之分，客观模糊总体存在的似然规律反映在主观上就是模糊统计思维规律； （2）模糊统计思维的基本规律区别于形式逻辑的同一律是同一与变异相结合的同异律，以模糊运算表现质与量抽象同一、同与异对立统一、必然与偶然否定之否定等辩证逻辑规律；（3）模糊统计以隶属度〔0，1〕刻画模糊总体正方的可能性而不涉及隶属度为负的反方可能性，是“似此非彼”的模糊辩证规律，高于“或此非彼”的概率统计规律尚非完全“亦此亦彼”的辩证逻辑规律。
2、模糊统计方法
模糊统计方法是研究模糊总体似然规律的实证思维方法。（1）模糊数学形成表现演绎与归纳、分析与综合、理论（逻辑）与经验（历史）相结合等辩证逻辑方法，是理论统计学的模糊统计思维方法，辩证逻辑形式的模糊运算方法则是模糊统计方法系统的普通统计学；（2）模糊统计的基本方法是由中级统计取同舍异的综合法上升为求同存异的平均法，既用于计算趋同特征数以实证异中求同的思维，又在同中存异的思维时用以计算实证的离异特征数；（3）模糊统计方法是对总体性质辩证思维论理结合模糊运算实证的求同存异方法，内含初级统计对质取同、中级统计对量取同、概率统计对结果求同存异各低层次的统计方法，是与精确科学方法并立的高级统计方法科学。
3、模糊统计形式
模糊统计形式是表现模糊运算方法的辩证逻辑形式。(1)模糊统计形成区别于撇开内容的形式逻辑形式是联系内容的辩证逻辑形式，所表现模糊运算的统计方法在应用时，数值计算过程以对象内容的逻辑思维为基础；（2）模糊统计形式包括辩证概念反映模糊集合的模糊统计描述，辩证判断表现模糊关系的模糊统计判决，辩证推理结合模糊运算的模糊统计推断；（3）模糊统计形式若引进反方可能性的负概率，正方可能性与反方可能性对立统一的概率在〔－1，1〕中取值，以“亦此亦彼”的辩证逻辑形式表现“对象及其关系一并研究”的范畴运算，则提高到范畴统计形式。
三、模糊统计的方法系统
模糊统计以模糊总体状态，关系和过程的描述，判决和推断的统计方法为重心，联系理论基础和应用技术研究模糊统计方法系统就是普通统计学。
（一）模糊状态统计
1、模糊状态描述
模糊状态描述是以辩证概念的模糊集合描述模糊总体的状态。（1）描述模糊总体状态的模糊集合A由隶属函数A( )确定，隶属度A1（x）在〔0，1〕中取值为普通模糊集可描述简单模糊总体，复杂模糊总体以隶属度是模糊集的高型模糊集A(n)描述，完全描述是模糊变量的可能性分布，从模糊变量计算趋同和离异的特征数则描述其状态特征；（2）模糊状态描述反映模糊总体性质的属于与不属于对立统一，是“似真非伪”的辩证概念；（3）辩证概念表现模糊集合边界不分明，模糊状态描述是按要求的隶属水平进行似然描述。
2、模糊状态判决
模糊状态判决是以辩证判断的模糊关系对模糊总体的状态作出判决。（1）模糊总体的状态由总体与各类和个体之间、总体与各特征之间的模糊关系决定，根据模糊关系运算对模糊总体的特征作出判决以描述其状态。例如根据m个指标对n个个体按一定属于程度模糊聚类，采用模糊等价矩阵方法取适当的阈值据以分类，对个体归于相应的类作出判决以描述模糊总体的结构特征；又如根据分类模式按最大隶属原则或贴近度原则进行模糊识别，对模糊对象归于最适模式作出判决以描述其状态特征。（2）模糊状态判决反映模糊总体的特征具有与不具有对立统一，是“似真非伪”的辩证判断；（3）辩证判断对象特征的断定具有不确定性，模糊状态判决是按要求的判决水平作似然判决。
3、模糊状态推断
模糊状态推断是以辩证推理的模糊运算对模糊总体的状态进行推断。模糊集合的并和交的“∨”和“∧”运算是基本运算，一般形式则是T模和S模运算。模糊命题是命题α受到模糊约束R为模糊集合A，即R(α)＝A0，通过各种转换规则的模糊运算得到新的模糊命题就是模糊辩证的似然推理。(1)修饰规则：若R(A)＝A，则R(mA)＝m(A)；(2)合成规则：若R(α)＝A，R(β)＝B，则R(α∨β)＝A∨B，R(α∧β)＝A∧Bw；(3)真值限制规则：“真的”＝T（x）＝S（x，1），“假的”＝V(x)＝S(1－x，1）；(4)可能限制规则：“可能”＝S(x，1)，“未必可能”＝1－S(x，1)，“不可能”＝S（1－x，1）。
（二）模糊关系统计
1、模糊关系描述
模糊关系描述是以辩证概念的模糊集合对模糊总体之间的关系进行描述。（1）直积Χ×Y中的模糊子集R称为从X到Y的模糊关系，其隶属函数R(x，y)为模糊矩阵，可描述两个模糊总体之间的简单关系，多个总体之间的模糊关系用模糊方阵序列，以不同的模糊矩阵描述复杂的各种模糊关系，完全描述是模糊向量的可能性分布，从模糊矩阵计算相似系数等特征数则描述其关系特征；（2）模糊关系描述反映总体关系的属于与不属于对立统一，是“似真非伪”的辩证概念；（3）描述模糊总体之间不确定的关系，是根据要求的隶属水平对模糊关系进行似然描述。
2、模糊关系判决
模糊关系判决是以辩证判断的模糊关系对模糊总体之间的关系作出判决。（1）模糊关系判决以模糊矩阵的关系运算、解模糊关系方程等方法对模糊对象的关系特征作出判决以描述其模糊关系。例如模糊决策对行动方案Ai与自然状态Fj的关系，以效用函数U及后验概率Mm计算Ai的平均效用U(AiMm)＝ΣU(Ai，Fi)P(FiMm)，按某一目标对Ai作判决得到A*满足U(A*Mm)＝maxU(AiMm)为最佳决策，以此描述方案与状态的关系；又如对评价总体V与多因素U的关系，采用模糊关系运算的方法以V上的模糊子集作出判决而后进行综合评价的模糊描述。（2）模糊关系判决反映模糊关系的具有与不具有对立统一，是“似真非伪”的辩证判断；（3）模糊关系判决只断定模糊关系的可能性程度，是按要求的判决水平对模糊关系作似然判决。
3、模糊关系推断
模糊关系推断是以辨证推理的模糊运算对模糊关系进行推断。模糊关系的独特运算是模糊关系的合成。模糊关系命题通过各种转换规则的模糊运算得到新的模糊命题就是模糊辩证的似然推理。（1）射影规则：若R(X，Y)＝R，则R(X)＝A，R(Y)＝B；（2）合成规则：若R：X×Y→〔0，1〕，则S：Y×Z→〔0，1〕，则（RS）(X，Z)＝sup（R（x，y）∧（S（y，z））；（3）蕴含规则：若A：X1→〔0，1〕，B：Y→〔0，1〕，则(A→B) (x，y)＝[A（x）∧B（y）∨（1－A（x））]；（4）条件语句“若A则B，否定C”：R（x，y）＝[A（x）∧B（y）∨B（y）∨（1-A（x）∧C（y）]；（5）多段条件语句“若A1则B1，若A2则B2，…，若An则Bn”：R（X，y）＝Ai（x）∧Bi（y）。
（三）模糊过程统计
1、模糊过程统计理论
辩证逻辑形式表现模糊过程运算就是模糊过程统计理论。（1）随机事件性质确定结果可能的概率P（Xi）扩展到性质可能结果不确定的模糊事件，其隶属函数的均值P（A）＝A(xi)P(xi)为模糊k概率；（2）随机过程增添隶属函数，以模糊概率替换各态历经概率和转移矩阵的概率，则扩张为模糊过程；（3）模糊过程以流动与静止对立统一的辩证逻辑形式表现，形成依赖于时间参数t的模糊集合，反映糊总体的发展变化过程。
2、模糊过程统计方法
模糊过程描述、判决和推断的方法在随机过程统计的基础上发展。（1）模糊过程描述：模糊过程不同时刻的模糊状态以各态历经的模糊矩阵描述，由一状态转为另一状态则以转移矩阵描述；（2）模糊过程判决：以模糊过程的变量增长，元素增消、分布变化等对模糊过程的类型及变动规律作出判决；（3）模糊过程推断：由各前期状态变化得到转移矩阵，以最后一期的状态结合转移矩阵对未来时期的状态进行推断。
3、模糊过程统计应用
模糊过程统计在有连续数据的领域中应用，特别是用于社会、经济的分析和预测。（1）模糊趋势统计：以各期模糊状态或模糊关系的趋同或离异的特征数构成时间数列，配合直线或曲线的趋势方程以模糊权数加权计算其参数和估计标准误，对模糊过程进行趋势分析；（2）模糊波动统计：对长期时间数列以模糊权数加权计算季节指数、景气指数等，进行季节波动、循环波动、不规则波动等模糊波动分析；（3）模糊统计预测：利用模糊过程的趋势方程和波动模型，以未来时序计算预测值，或利用模糊过程的转移矩阵以现期值计算预测值。
四、模糊统计的应用技术
模糊统计应用于自然和社会各领域复杂数据的处理，研究处理复杂数据的辩证思维艺术结合模糊运算技巧的统计应用技术就是应用统计学及其分支。
（一）复杂数据的特点
1、高维、相依、非线性
复杂现象多要素相联系的可能性表现为高维，相依和非线性的复杂数据。（1）复杂现象多层次属性，多指标特征，多因素影响、多方面关联的各要素，表现为模糊变量的模糊数是维数很高的复杂数据；（2）复杂现象各要素互相依存和制约并不相互独立，反映其相依程度的多概率模糊集合为复杂数据；（3）复杂现象多要素之间的数量关系并非一次函数而是非线性映射，表现为模糊函数的复杂数据。
2、混沌、时变、不完全
复杂现象的隐模糊性及时空变化的信息转化为不完全数据。（1）复杂现象隐含混沌的 _模糊信息其量化困难，获取的有用信息表现为不完全数据；（2）复杂现象模糊过程的瞬时状态很难连续记录，所得信息有遗缺而转化为不完全数据；（3）复杂现象的模糊全息在获取，传输的空间受到干扰，接收的可用信息许多是不完全数据。
3、辩证、模糊、随机性
复杂现象的现实具有辩证、模糊和随机三层统计特征。（1）现实现象具有正方可能性与反方可能性对立统一的辩证性，正反可能性的存在率在〔－1，1〕中取值为“亦此亦彼”的万有集，由未来的范畴统计研究，存在率只取〔0，1〕中的值便蜕化为模糊现象；（2）模糊现象具有正方性质属于与不属于对立统一的似然性，隶属度在〔0，1〕中取值为“似此非彼”的模糊集，由在建的模糊统计研究，隶属度只取0和1两个值便蜕化为随机现象；（3）随机现象具有性质确定结果出现与不出现对立统一的或然性，概率在〔0，1〕中取值为“或此非彼”的随机集，由已用的数理统计研究，概率只取0和1两个值便蜕化为“非此即彼”的必然现象，不是统计研究的对象。中级统计的常量性总量转化为随机变量可概率统计，初级统计的确定性属性以模糊变量描绘则能模糊统计，统计学提高又回归为而更提高，数据处理技术随之发展。
（二）模糊统计技术
1、辩证思维艺术
辩证思维艺术是对模糊总体性质同一与变异辩证思维的统计技术。（1）同异结合之艺：模糊总体性质属于之同与不属于之异对立统一，遵循辩证思维的同异律研究模糊总体既同又异的属性特征；（2）求同存异之术：模糊总体的性质异中有同且同中有异，采用求同存异的辩证思维方法揭示模糊总体的似然性统计规律；（3）同异结合之艺与求同存异之术并用就是模糊统计的辩证思维艺术。
2、模糊运算技巧
模糊运算技巧是对模糊变量取值趋同与离异模糊运算的统计技术。（1）确定隶属函数之技：模糊变量取值是实数上由隶属函数确定的模糊集，以客观测度与主观评判相结合确定模糊集的隶属函数；（2）选择运算方法之巧：模糊变量取值为模糊数其运算十分复杂，选择恰当的算子正确计算模糊特征数；（3）确定隶属函数之技与选择运算方法之巧相结合就是模糊统计的模糊运算技巧。
3、统计操作技能
统计操作技能是对统计研究及其前导和后继全过程实际操作的统计技术。（1）统计设计技能：为统计研究获取有用的原始资料，根据对象特点和感知技术设计数据采集方案；（2）统计研究技能：为从复杂数据处理中探求统计规律，运用辩证思维艺术结合模糊运算技巧并利用计算机的逻辑和计算功能；（3）统计应用技能：为适应理论、实际和管理各领域的需要，以最佳方式将统计研究的成果转入应用。
（三）应用统计分支
1、统计分析分支
统计分析分支是模糊统计方法应用于各领域统计分析的应用统计学分支。（1）自然和社会的理论和实际各领域的模糊总体变量既有共同性也有特殊性，适合特定领域对象特点的模糊统计方法技术形成应用统计学的多个分支；（2）已有数理统计分支的领域针对数据性质不确定而把概率统计提升为模糊统计分支，能直接应用通用模糊统计方法的领域可不建立应用统计学分支；（3）社会现象的复杂性以自然语言记述，数量经济现象表现为复杂数据，应用模糊统计的社会经济统计学可率先迅速发展。
2、统计设计分支
统计设计分支是应用模糊统计方法设计数据采集方案的应用统计学分支。（1）统计设计是为统计研究设计数据采集方案的统计方法技术，不研究对模糊现象直接观察、实验和调查的方式、方法和技术；（2）模糊统计设计主要是从现成的复杂数据中采集有用数据的数据挖掘设计，网上数据未满足统计研究需要则结合观察、实验和调查的抽样设计；（3）统计设计的一个重要分支是搜集社会经济复杂数据的调查设计。
3、管理统计分支
管理统计分支是模糊统计方法应用于复杂系统管理的应用统计学分支。（1）模糊统计方法用于实践再认识以增强管理职能，统计职能从认识世界扩展到改造世界而形成管理统计学，是社会经济的应用统计学分支而不是一门管理科学；（2）模糊统计应用于管理全过程，包括模模糊预测、模糊决策、模糊规划、模糊协调、模糊对策、模糊控制、模糊评价、模糊处理等；（3）模糊统计在社会经济中的三个应用分支是：指导感性认识的调查设计；从事理性认识的社会经济统计；帮助实践再认识的管理统计。
参考文献
〔1〕陈希孺《数理统计学：世纪末的回顾与展望》，《统计研究》2000年第2期；
〔2〕张南《20世纪统计学的回顾与展望》，《统计研究》2000年第9期；
〔3〕张文修等《模糊数学引论》，西安交通大学出版社，1991年6月第1版；
〔4〕王铭文等《模糊数学讲义》东北师范大学出版社，1988 年2月第1版；
〔5〕章沛《辩证逻辑基础》，湖南人民出版社，1982年4月第1版；
〔6〕唐济民《数理辩证的统计学》，1999年度全国统计科研课题，批准号LX99152。
［湖南娄底经贸学校 唐济民］
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